Aprèn - Josep Álvarez Montaner

En aquest treball, estudiem la Strong Monodromy Conjecture (SMC) en el seu marc topològic i l'estat de l'art per a alguns casos coneguts de la conjectura. Després d'introduir els conceptes de resolució de singularitats, polinomi de Bernstein-Sato, funció zeta topològica, estudiem els casos de corbes planes, i després el de les singularitats Newton no degenerades (NND). La prova de l'SMC per a tots dos casos es basa en l'estudi de l'estudi asimptòtic de determinats períodes d'integrals i en alguns resultats tècnics cohomològics. Tanmateix, el resultat per corbes planes se simplifica mitjançant l'estudi de diverses invariants, mentre que els polinomis NND permeten un enfocament més combinatori mitjançant el ventall dual associat al seu polígon de Newton. Descrivim breument les demostracions i discutim la hipòtesi addicional sobre els nombres del residu necessària per al cas NND, exigint essencialment que els nombres del residu no siguin enters. No obstant això, calculem alguns exemples que revelen que aquests valors enters poden succeir i, a més, que els divisors associats poden contribuir als pols a la funció zeta topològica. Això indica que l'enfocament actual de les singularitats NND no es pot generalitzar i que cal un enfocament diferent per atacar el cas general.

En este trabajo, estudiamos la Strong Monodromy Conjecture (SMC) en su marco topológico y el estado del arte para algunos casos conocidos de la conjetura. Después de introducir los conceptos de resolución de singularidades, polinomio de Bernstein-Sato, función zeta topológica, estudiamos los casos de curvas planas, y después el de las singularidades Newton no degeneradas (NND). La prueba de la SMC para ambos casos se basa en el estudio del estudio asintótico de determinados periodos de integrales y en algunos resultados técnicos cohomológicos. Aun ası́, el resultado para curvas planas se simplifica mediante el estudio de diversos invariantes, mientras que los polinomios NND permiten un enfoque más combinatorio mediante el abanico dual asociado a su polıígono de Newton. Describimos brevemente las demostraciones y discutimos la hipótesis adicional sobre los números del residuo necesaria para el caso NND, exigiendo esencialmente que los números del residuo no sean enteros. Sin embargo, calculamos algunos ejemplos que revelan que estos valores enteros pueden suceder y, además, que los divisores asociados pueden contribuir a los polos a la función zeta topológica. Esto indica que el enfoque actual para las singularidades NND no se puede generalizar y que hace falta un enfoque diferente para atacar el caso general.

In this work, we study the Strong Monodromy Conjecture (SMC) in its topological setting, and the state of the art for some known cases of the conjecture. After introducing the concepts of resolution of singularities, Bernstein-Sato polynomial, topological zeta function, we study the cases of plane curves, and then that of Newton non-degenerate (NND) singularities. The proof of the SMC for both cases relies on the study of the asymptotics of certain periods of integrals and some technical cohomological results. However, the result for plane curves is simplified via the study of several invariants, while NND polynomials allow for a more combinatorial approach through the dual fan associated to its Newton polygon. We outline the proofs, and discuss the additional hypothesis on the residue numbers required for the NND case, essentially demanding that the residue numbers are not integers. Nonetheless, we compute some examples revealing that such integer values can appear and, furthermore, that the associated divisors can contribute to poles to the topological zeta function. This indicates that the current approach for NND singularities can't be generalised, and that a different approach is necessary to attack the general case.

p-th roots ideals of plane curves in positive characteristic

Projecte Final de Màster Oficial

López Sancha, Pedro

Tutor/a - Director/a: Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2024

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Accés al text complet

Gauss-Manin connection of ICIS and Bernstein-Sato polynomials

Treball Final de Grau

Torrecillas Castelló, Marc

Tutor/a - Director/a: Blanco Fernández, Guillem; Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2024

Centre de Formació Interdisciplinària Superior (CFIS)

Veure detall Accés al text complet

En aquest Treball de Fi de Grau estudiem la connexió de Gauss-Manin per Interseccions Completes amb Singularitats Aïllades (ICIS), així com la seva relació amb certs polinomis de Bernstein-Sato. Pel cas d'hipersuperfícies amb singularitats aïllades, aquesta relació s'estableix en un resultat de Malgrange. Per estudiar la possible generalització d'aquest resultat al cas d'ICIS, generalitzem un algorisme de Schulze per calcular la connexió de Gauss-Manin d'una hipersuperfície amb singularitats aïllades al cas d'ICIS. Seguidament, fem ús de la nostra implementació en Magma d'aquest algorisme per calcular alguns exemples. Això ens permet concloure que un candidat per la generalització del resultat de Malgrange és el polinomi de Bernstein-Sato associat al mòdul de cohomologia local d'una ICIS.

En este Trabajo Final de Grado estudiamos la conexión de Gauss-Manin para Intersecciones Completas con Singularidades Aisladas (ICIS) y su relación con ciertos polinomios de Bernstein-Sato. Para hipersuperficies con singularidades aisladas, esta relación se establece en un resultado de Malgrange. Para estudiar la posible generalización de este resultado a ICIS, generalizamos un algoritmo de Schulze para el cálculo de la conexión de Gauss-Manin para hipersuperfícies con singularidades aisladas al caso de ICIS. Seguidamente, usamos nuestra implementación en Magma del algoritmo para calcular algunos ejemplos. Esto nos permite concluir que un candidato para la generalización del resultado de Malgrange es el polinomio de Bernstein-Sato asociado al módulo de cohomología local de una ICIS.

In this Bachelor thesis we study the Gauss-Manin connection of Isolated Complete Intersection Singularities (ICIS) and its relation with Bernstein-Sato polynomials. For isolated hypersurface singularities, this relation follows from a theorem by Malgrange. To study the possible generalization of this result to ICIS, we generalize an algorithm by Schulze for the computation of the Gauss-Manin connection of isolated hypersurface singularities to the case of ICIS. We then use our Magma implementation of this algorithm to compute some examples, concluding that a candidate for a generalization of Malgrange's result is the Bernstein-Sato polynomial associated to the local cohomology module of an ICIS.

GEOMETRIA AFÍ I EUCLIDIANA | Parcial 2Q Restricted access to the UPC academic community

Examen

Fernández Sánchez, Jesús; Álvarez Montaner, Josep; Planas Vilanova, Francesc d'Assís

Data de publicació: 2024

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

GEOMETRIA AFÍ I EUCLIDIANA - 200005

Accés al text complet

Limit distribution of Hodge spectral exponents of plane curve singularities

Projecte Final de Màster Oficial

Gómez López, Roger

Tutor/a - Director/a: Alberich Carramiñana, Maria; Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2023

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Veure detall Accés al text complet

Bernstein–Sato theory for determinantal ideals in positive characteristic

Treball Final de Grau

López Sancha, Pedro

Tutor/a - Director/a: Álvarez Montaner, Josep; Quinlan Gallego, Eamon

Data de publicació: 2023

Centre de Formació Interdisciplinària Superior (CFIS)

Veure detall Accés al text complet

Sigui R un anell de polinomis sobre un cos k. Una varietat algebraica sobre k és un conjunt de punts on s'anul·len alguns polinomis de R. Amb la finalitat d'estudiar aquestes varietats i les seves singularitats, una pràctica comuna és construir invariants algebraics per a quantificar com de singular és la varietat. Aquest és precisament un dels objectius de la teoria de Bernstein-Sato. Durant els últims vint anys, la teoria en característica p > 0 ha vist un desenvolupament i creixement sense parangó. En aquest projecte calculem invariants de la teoria per ideals determinantals, és a dir, ideals generats pels determinants de submatrius de matrius genèriques d'indeterminades.

Sea R un anillo de polinomios sobre un cuerpo k. Una variedad algebraica sobre k es un conjunto de puntos donde se anulan algunos polinomios de R. A fin de estudiar estas variedades y sus singularidades, una práctica común es construir invariantes algebraicos para cuantificar cómo de singular es la variedad. Este es precisamente uno de los objetivos de la teoría de Bernstein-Sato. Durante los últimos veinte años, la teoría en característica p > 0 ha visto un crecimiento y desarrollo sin parangón. En este proyecto calculamos invariantes de la teoría para ideales determinantales, a saber, ideales generados por los determinantes de submatrices de matrices genéricas de indeterminadas.

Let R a polynomial ring over a field k. An algebraic variety over k is a set of points given as the zero loci of polynomials in R. In order to study these varieties and their singularities, a common practice is to construct algebraic invariants to quantify how singular the variety is. This is precisely one of the goals of Bernstein-Sato theory. In characteristic p > 0, the theory has seen unparalleled growth and development for the last twenty years. In this project we compute algebraic invariants of this theory for determinantal ideals, that is, ideals generated by the determinants of submatrices of generic matrices of indeterminates.

Singularities via the Frobenius homomorphism

Projecte Final de Màster Oficial

Navarro Travesset, Oriol

Tutor/a - Director/a: Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2022

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Veure detall Accés al text complet

Finiteness properties of local cohomology modules

Projecte Final de Màster Oficial

Quingles Daví, Guillem

Tutor/a - Director/a: Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2022

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Veure detall Accés al text complet

Rings of differential operators on singular varieties

Projecte Final de Màster Oficial

Barbero Lucas, Beatriz

Tutor/a - Director/a: Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2022

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Veure detall Accés al text complet

Study of roots of the Bernstein-Sato polynomial of plane curves

Treball Final de Grau

Gómez López, Roger

Tutor/a - Director/a: Blanco Fernández, Guillem; Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2022

Centre de Formació Interdisciplinària Superior (CFIS)

Veure detall Accés al text complet

En aquest projecte estudiem les arrels del polinomi de Bernstein-Sato en el cas de singularitats de corbes planes. Les arrels del polinomi de Bernstein-Sato estan relacionades amb els pols de la funció zeta complexa a través de continuació analítica. Estudiant els pols de la funció zeta complexa utilitzant resolució de singularitats, es pot obtenir informació sobre les arrels del polinomi de Bernstein-Sato. L'objectiu principal és calcular nous exemples d'estratificacions pel polinomi de Bernstein-Sato al llarg de deformatcions a μ constant. Utilitzarem la teoria de la funció zeta complexa per a crear un programa de Magma que farà els càlculs necessaris per a obtenir les estratificacions.

En este proyecto estudiamos las raíces del polinomio de Bernstein-Sato en el caso de singularidades de curvas planas. Las raíces del polinomio de Bernstein-Sato están relacionadas con los polos de la función zeta compleja a través de continuación analítica. Estudiando los polos de la función zeta compleja utilitzando resolución de singularidades, se puede obtener información sobre las raíces del polinomio de Bernstein-Sato. El objetivo principal es calcular nuevos ejemplos de estratificaciones para el polinomio de Bernstein-Sato a lo largo de deformatciones a μ constante. Utilitzaremos la teoría de la función zeta compleja para crear un programa de Magma que hará los cálculos necesarios para obtener las estratificaciones.

In this bachelor project we study the roots of the Bernstein-Sato polynomial for the case of plane curves singularities. The roots of the Bernstein-Sato polynomial are linked with the poles of the complex zeta function via analytical continuation. Studying the poles of the complex zeta functions using resolution of singularities one can obtain information about the roots of the Bernstein-Sato polynomial. The main goal is to compute new examples of stratifications for the Bernstein-Sato polynomial along μ-constant deformations. We will use the theory of the complex zeta function to create a Magma program which will perform the necessary computations to obtain the desired stratifications.

Scheme of pairs of matrices with vanishing commutator

Treball Final de Grau

Llopis Vidal, Bartomeu

Tutor/a - Director/a: Budur, Nero; Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2019

Centre de Formació Interdisciplinària Superior (CFIS)
Escola Tècnica Superior d'Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona (ETSETB)
Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Veure detall Accés al text complet

GEOMETRÍA AFÍ I EUCLIDIANA Restricted access to the UPC academic community

Examen

Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2017

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

GEOMETRIA AFÍ I EUCLIDIANA - 200005

Accés al text complet

GEOMETRÍA AFÍ I EUCLIDIANA Restricted access to the UPC academic community

Examen

Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2017

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

GEOMETRIA AFÍ I EUCLIDIANA - 200005

Accés al text complet

GEOMETRÍA AFÍ I EUCLIDIANA Restricted access to the UPC academic community

Examen

Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2017

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

GEOMETRIA AFÍ I EUCLIDIANA - 200005

Accés al text complet

Extremal mixed graphs in the context of the Degree/Diameter problem

Projecte Final de Màster Oficial

Monserrat Companys, Joaquim

Tutor/a - Director/a: López Lorenzo, Ignacio; Álvarez Montaner, Josep

Data de publicació: 2016

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Accés al text complet

Effective computation of base points of two-dimensional ideals

Projecte Final de Màster Oficial

Blanco Fernández, Guillem

Tutor/a - Director/a: Álvarez Montaner, Josep; Alberich Carramiñana, Maria

Data de publicació: 2015

Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Veure detall Accés al text complet

Llista de problemes del curs de Geometria ETSEIB Universitat Politècnica

Problema, exercici

Álvarez Montaner, Josep; Amorós Torrent, Jaume; Baldomá Barraca, Inmaculada; Barja Yáñez, Miguel Ángel; Casanellas Rius, Marta; Clotet Juan, Josep; Fedorov, Yuri; Fernández Sánchez, Jesús; Ferragut Amengual, Antoni Manel; Ferrer Llop, Josep; García Planas, María Isabel; Hernando Martín, María del Carmen; Magret Planas, Maria dels Dolors; Plans Berenguer, Bernat; Rodríguez Navarro, Javier; Roig, Agustín; Ruiz, David; Sánchez Martín, Patricia

Data de publicació: 2014

Escola Tècnica Superior d'Enginyeria Industrial de Barcelona (ETSEIB)

GEOMETRIA - 240021

Accés al text complet