APRÈN. Portal de la producció docent del professorat de la UPC

S'ha comprovat que els models basats en detectors Unruh-DeWitt reprodueixen fenòmens d'interacció llum-matèria en situacions on l'intercanvi de moment angular és negligible. Això suggereix la possibilitat d'estudiar situacións típiques en òptica quàntica sense utilitzar cap de les aproximacions més comuns (mode únic, i ona rotatòria), ja que s'ha vist que aquestes violen la causalitat. Analitzem els efectes de realitzar mesures projectives sobre un detector UDW que ha interaccionat prèviament amb un camp quàntic. Veiem que això pot produir pulsos amb quantitats significatives d'energia negativa. També mostrem que un parell de detectors pot produir un patró d'interferència, que és molt probable que desaparegui després de realitzar una mesura. Per fer l'anàlisi, introduïm un protocol que consisteix en un o dos detectors UDW acoplats a un camp quàntic real, escalar i de massa zero, en un espai-temps pla. Deduïm expressions analítiques per a: l'estat del camp i del detector abans i després de la mesura projectiva; l'energia total del camp; i la densitat d'energia del camp. En un cas particular, mostrem expressions analítiques per a la densitat d'energia que són particularment aptes per a l'evaluació numèrica.

Se ha comprobado que los modelos basados en detectores Unruh-DeWitt reproducen fenómenos de interacción luz-materia en situaciones en qué el intercanvio de momento angular es negligible. Esto sugiere la posibilidad de estudiar situaciones típicas en óptica cuántica sin usar ninguna de las aproximaciones más comunes (modo único, y onda rotatoria), ya que se ha visto que estas violan la causalidad. Analizamos los efectos de realizar medidas proyectivas sobre un detector UDW que ha interaccionado previamente con un camp cuántico. Vemos que esto puede producir pulsos con cantidades significativas de energía negativa. También mostramos que un par de detectores puede producir un patrón de interferencia, que es muy probable que desaparezca después de realizar una medida. Para hacer el análisis, introducimos un protocolo que consiste en uno o dos detectors UDW acoplados a un campo cuántico real, escalar y de masa cero, en un espacio-tiempo plano. Deducimos expresiones analíticas para: el estado del campo y del detector antes y después de la medida proyectiva; la energía total del campo; y la densidad de energía del campo. En un caso particular, mostramos expresiones analíticas para la densidad de energía que son particularmente aptas para la evaluación numérica.

La intel·ligència artificial (IA) ha revolucionat molts aspectes de la societat i ja està present en la nostra vida quotidiana. Les xarxes neuronals més grans que s'han entrenat fins ara, els models de llenguatge extensos (LLM, per les seues sigles en anglés), poden realitzar tasques de comprensió del llenguatge i fins i tot superen a experts humans en algunes d'aquestes. No obstant això, com aprofitar aquestes capacitats per a accelerar el descobriment científic i la innovació tecnològica encara és un problema obert. En aquest treball, explorem les potencials aplicacions dels LLM i els reptes associats en aquest context a través de dos projectes diferents. En el primer, estudiem les limitacions en el raonament aritmètic dels LLM i presentem OccamLlama, un nou mètode que incorpora xarxes neuronals simbòliques per millorar l'eficàcia i la interpretabilitat dels LLM en càlculs aritmètics. Aquest projecte és un pas endavant cap a l'automatització de la ciència impulsada per la IA, que es convertirà en un component fonamental del procés de recerca en el futur. El segon projecte consisteix en una interfície cervell-ordinador de discurs, un dispositiu capaç de descodificar l'activitat cerebral d'un pacient amb paràlisi i produir el discurs desitjat. En aquest capítol, proposem un nou mètode de descodificació que aprofita les capacitats de generació de text dels LLM, avaluem l'efectivitat del model usant dades reals i discutim possibles millores i limitacions d'aquest mètode.

La inteligencia artificial (IA) ha revolucionado muchos aspectos de la sociedad y ya está presente en nuestra vida cotidiana. Las redes neuronales más grandes entrenadas hasta la fecha, los grandes modelos de lenguaje (LLM, por sus siglas en inglés), destacan en tareas de comprensión del lenguaje e incluso superan a expertos humanos en algunas de ellas. Sin embargo, cómo aprovechar estas capacidades para acelerar el descubrimiento científico y la innovación tecnológica sigue siendo un problema abierto. En este trabajo, exploramos las potenciales aplicaciones de los LLM y los desafíos asociados en este contexto a través de dos proyectos diferentes. En el primero, estudiamos las limitaciones en el razonamiento aritmético de los LLMypresentamos OccamLlama, un nuevo enfoque que incorpora redes neuronales simbólicas para mejorar la eficacia y la interpretabilidad de los LLM en cálculos aritméticos. Este proyecto es un paso adelante hacia la automatización de la ciencia impulsada por la IA, que se convertirá en un componente fundamental del proceso de investigación en el futuro. El segundo proyecto consiste en una interfaz cerebro-ordenador de habla, un dispositivo capaz de decodificar la actividad cerebral de un paciente paralizado y producir el discurso deseado. En este capítulo, proponemos un nuevo método de decodificación que aprovecha las capacidades de generación de texto de los LLM, evaluamos la efectividad del modelo usando datos reales y discutimos posibles mejoras y limitaciones de este enfoque.

En els darrers anys s'ha observat un gran progrés experimental en les tecnologies quàntiques. La majoria dels sistemes d'interès són de naturalesa inherentment oberta i de molts cossos, i entendre els fenòmens col·lectius derivats d'aquestes característiques és crucial per a la metrologia, la informació quàntica, la computació quàntica i moltes altres aplicacions. No obstant, un tractament analític i simulacions exactes i eficients d'aquests sistemes segueixen sent difícils de dur a terme a causa de l'augment exponencial de la complexitat amb la mida del sistema. La representació en l'espai de fases, una formulació equivalent de la mecànica quàntica, proporciona una plataforma per explorar possibles solucions per evitar la complexitat exponencial. En el límit de la dinàmica semiclàssica, l'anomenada truncated Wigner approximation permet simulacions computacionalment eficients per a la dinàmica Hamiltoniana. Aquesta aproximació, inicialment destinada a sistemes bosònics, es pot generalitzar a sistemes d'espín amb dissipació. En aquest projecte, ens centrem principalment en aquest darrer cas i examinem diversos mètodes aproximats, ramificats de la truncated Wigner approximation original, proporcionant la comprensió física necessària de la validesa d'aquestes aproximacions. També generalitzem la representació en l'espai de fases per obtenir simulacions exactes de la dinàmica d'espins i caracteritzar l'estabilitat del mètode numèric.

En los últimos años se han producido enormes avances experimentales en las tecnologías cuánticas. La mayoría de los sistemas de interés son inherentemente abiertos y de muchos cuerpos, y entender los fenómenos colectivos que surgen de estas características es crucial para la metrología, la información cuántica, la computación cuántica y muchas otras aplicaciones. Sin embargo, un tratamiento analítico y simulaciones exactas y eficientes de estos sistemas siguen siendo difíciles de alcanzar debido al aumento exponencial de la complejidad con el tamaño del sistema. La representación en el espacio de fases, una formulación equivalente de la mecánica cuántica, proporciona una plataforma para explorar posibles soluciones para sortear la complejidad exponencial. En el límite de la dinámica semiclásica, la truncated Wigner approximation permite realizar simulaciones computacionalmente eficientes de la dinámica Hamiltoniana. Esta aproximación, inicialmente destinada a sistemas bosónicos, puede generalizarse a sistemas de espín con disipación. En este proyecto, nos centramos principalmente en el último caso y examinamos varios métodos aproximados, partiendo de la truncated Wigner approximation original, proporcionando la comprensión física necesaria de la validez de estas aproximaciones. También generalizamos la representación en el espacio de fases para obtener simulaciones exactas de la dinámica del espín y caracterizamos la estabilidad del método numérico.

En aquest treball expliquem un procediment per a obtenir totes les mètriques pseudoriemannianes per les quals un conjunt de corbes són geodèsiques reparametritzades. Això suposa la resconstrucció d'una classe de connexions afins simètriques, entre les quals després cal trobar connexions mètriques. Per a fer això, considerem principalment dos sistemes d'equacions, i estudiem fins a quin punt i amb quina generalitat resolen el problema. També apliquem aquest procediment en dos exemples bidimensionals.

En este trabajo exponemos un procedimiento para obtener todas las métricas pseudoriemannianas para las cuales un conjunto de curvas son geodésicas reparametrizadas. Esto supone la resconstrucción de una clase de conexiones afines simétricas, entre las cuales luego se buscan conexiones métricas. Para eso, consideramos principalmente dos sistemas de ecuaciones, y estudiamos hasta qué punto y con qué generalidad resuelven el problema. También aplicamos este procedimiento en dos ejemplos bidimensionales.

En aquest treball, es presenta un entorn experimental que considera un grup de robots rotatoris dins d'un receptacle rectangular, el qual mostra un comportament sincronitzat altament robust sense necessitat d'intercommunicació entre agents, només mitjançant col·lisions amb l'entorn. Aquest entorn serà analitzat amb um model matemàtic dissenyat a partir de la interconnexió de diferents sistemes dinàmics híbrids, per tal d'entendre el seu comportament. Amb aquest model, es demostren resultats sobre l'estabilitat de la seva sincronització, la caracterització dels punts d'equilibri i la seva robustesa per al cas d'un nombre reduït d'agents així com per un nombre arbitrari. Mitjançant l'eina de Matlab HyEq Toolbox, el model es implementat en una simulació numèrica que permet visualitzar el comportament del sistema per un nombre elevat d'agents i repeticions. També es realitza un anàlisi de la representació de l'operador de Koopman del sistema utilitzant una xarxa neuronal per tal de completar l'imatge del sistema.

En este trabajo, se presenta un entorno experimental que considera un grupo de robots rotatorios dentro de un receptáculo rectangular, el cual muestra un comportamiento sincronizado altamente robusto sin necesidad de intercomunicación entre agentes, solo mediante colisiones con el entorno. Este entorno será analizado con un modelo matemático diseñado a partir de la interconexión de diferentes sistemas dinámicos híbridos, para entender su comportamiento. Con este modelo, se demuestran resultados sobre la estabilidad de su sincronización, la caracterización de los puntos de equilibrio y su robustez para el caso de un número reducido de agentes así como para un número arbitrario. Mediante la herramienta de Matlab HyEq Toolbox, el modelo es implementado en una simulación numérica que permite visualizar el comportamiento del sistema para un número elevado de agentes y repeticiones. También se realiza un análisis de la representación del operador de Koopman del sistema utilizando una red neuronal para completar la imagen del sistema.

El bipedisme és un dels trets més característics dels humanoides, però aconseguir una locomoció robusta continua sent un dels problemes més difícils de la robòtica. Les dificultats sorgeixen de la complexitat de la dinàmica híbrida d'alta dimensió, combinada amb les limitacions computacionals. Normalment s'utilitzen models d'ordre reduït per abordar aquest problema, però aquests models no capturen la dinàmica completa del robot. En aquest treball, proposem un marc jeràrquic que combina una política de planificació d'espais de tasques d'alt nivell, composta per un controlador predictiu basat en models (MPC) i un terme residual après mitjançant l'aprenentatge per reforç, amb un whole-body controller a un nivell inferior, per fer seguir de les trajectòries de l'espai de tasques desitjades. L'MPC utilitza un model d'ordre reduït per generar una política de pas subòptima, que es millora posteriorment per la política residual, que té en compte la dinàmica del cos sencer del robot. L'MPC actuarà com a guia durant el procés d'entrenament, facilitant un aprenentatge eficient. El marc proposat es prova en simulació en tres escenaris diferents, com ara caminar cap endavant i enrere, girar, i caminar sota forces externes. Demostrant que la nova política és capaç de millorar i generar una locomoció robusta.

Uno de los rasgos más característicos de los humanoides es el bipedismo, sin embargo lograr una locomoción robusta sigue siendo uno de los problemas más desafiantes de la robótica. Las dificultades son debidas a la altra dimensionalidad y complejidad la dinámica híbrida, combinada con las restricciones computacionales. Normalmente se emplean modelos de orden reducido para abordar este problema, sin embargo, estos modelos no logran capturar la dinámica completa del robot. En este trabajo, proponemos un marco jerárquico que combina una planificación de tareas de alto nivel, compuesta por un controlador predictivo basado en modelos (MPC) y un término residual aprendido mediante aprendizaje por refuerzo, con un whole-body controller en un nivel inferior para seguir las trayectorias deseadas en el espacio de tareas. El MPC utiliza un modelo de orden reducido para generar una política de pasos subóptima, mejorada posteriormente por la política residual, que tiene en cuenta la dinámica de todo el cuerpo del robot. El MPC actuará como guía durante el proceso de entrenamiento, facilitando un aprendizaje eficiente. El marco propuesto se prueba en simulación en tres escenarios distintos: caminar hacia delante y hacia atrás, girar, y caminar bajo fuerzas externas. Demostrando que la nueva política es capaz de mejorar y generar una locomoción robusta.

En aquest Treball de Fi de Grau estudiem la connexió de Gauss-Manin per Interseccions Completes amb Singularitats Aïllades (ICIS), així com la seva relació amb certs polinomis de Bernstein-Sato. Pel cas d'hipersuperfícies amb singularitats aïllades, aquesta relació s'estableix en un resultat de Malgrange. Per estudiar la possible generalització d'aquest resultat al cas d'ICIS, generalitzem un algorisme de Schulze per calcular la connexió de Gauss-Manin d'una hipersuperfície amb singularitats aïllades al cas d'ICIS. Seguidament, fem ús de la nostra implementació en Magma d'aquest algorisme per calcular alguns exemples. Això ens permet concloure que un candidat per la generalització del resultat de Malgrange és el polinomi de Bernstein-Sato associat al mòdul de cohomologia local d'una ICIS.

En este Trabajo Final de Grado estudiamos la conexión de Gauss-Manin para Intersecciones Completas con Singularidades Aisladas (ICIS) y su relación con ciertos polinomios de Bernstein-Sato. Para hipersuperficies con singularidades aisladas, esta relación se establece en un resultado de Malgrange. Para estudiar la posible generalización de este resultado a ICIS, generalizamos un algoritmo de Schulze para el cálculo de la conexión de Gauss-Manin para hipersuperfícies con singularidades aisladas al caso de ICIS. Seguidamente, usamos nuestra implementación en Magma del algoritmo para calcular algunos ejemplos. Esto nos permite concluir que un candidato para la generalización del resultado de Malgrange es el polinomio de Bernstein-Sato asociado al módulo de cohomología local de una ICIS.

En aquest treball presentem un nou resultat original en el camp de la mecànica de fluids matemàtica, l'existència de V-states no convexos. Els V-states són solucions de l'equació d'Euler en 2D de tipus vortex patch que roten amb velocitat angular uniforme. Els únics exemples explícits coneguts són el cercle i les el·lipses, la resta de resultats positius d'existència utilitzen arguments de bifurcació local o global i no donen cap informació quantitativa de les solucions lluny de les explícites. En aquest treball demostrem la existència de solucions lluny del règim pertorbatiu, de les quals som capaços d'extreure propietats no trivials i una descripció quantitativa precisa, en particular demostrem la no convexitat. La dificultat rau en no poder utilitzar bifurcació local prop de les el·lipses o cercles (degut a la convexitat), i tampoc cap argument de tipus general, perquè no totes les branques de bifurcació acaben sent no convexes. Per això cal tenir informació de la branca concreta i la bifurcació global no ho aconsegueix. Per demostrar-ho, utilitzem una combinació de tècniques d'anàlisi i de demostracions assistides per ordinador. Un proper article estarà basat en aquest treball, en col·laboració amb el meu director Javier Gómez Serrano.

En este trabajo presentamos un nuevo resultado original en el campo de la mecánica de fluidos matemática, la existencia de V-states no convexos. Los V-states son soluciones de la equación de Euler en 2D de tipo vortex patch que rotan con velocidad angular uniforme. Los únicos ejemplos explícitos conocidos son el círculo y las elipses, el resto de resultados positivos de existencia utilizan argumentos de bifurcación local o global y no dan ninguna información cuantitativa de las soluciones lejos de las explícitas. En este trabajo demostramos la existencia de soluciones lejos del régimen perturbativo, de las cuales somos capaces de extraer propiedades no triviales y una descripción cuantitativa explícita, en particular demostramos la no convexidad. La dificultad radi\-ca en no poder utilizar bifurcación local cerca de las elipses y círculo (debido a la convexidad), y tampoco ningún argumento de tipo general, porque no todas las ramas de bifurcación acaban siendo no convexas. Por eso es necesario tener información de la rama concreta y la bifurcación global no lo consigue. Para demostrarlo, utilizamos una combinación de técnicas de análisis y de demostraciones asistidas por ordenador. Un próximo artículo estará basado en este trabajo, en colaboración con mi director Javier Gómez Serrano.

Aquest document estén la noció d'Input to State Stablility (ISS) a fluxos a sets tancats amb sets de punts d'equilibri compactes. Aquesta propietat l'anomenem Set Input to State Stability (SISS). Donem condicions necessàries perquè es compleixi la propietat SISS i subratllem les principals relacions i diferències entre SISS, local ISS i ISS; emfatitzant la nova informació que ens aporta el marc teòric SISS. La segona part d'aquest document aplica el marc teòric SISS desenvolupat per es tudiar l'estabilitat de l'algorisme Safe Gradient Flow quan s'implementa en situacions reals. Demostrem que, sota certes suposicions raonables, tant el SGF continu com el discretitzat exhibeixen la propietat Set Input to State Stability (SISS).

Este documento extiende la noción de Input to State Stablility (ISS) a flujos en sets cerrados con sets de puntos de equilibrio compactos. A esta propiedad la llamamos Set Input to State Stability (SISS). Damos condiciones necesarias para que se cumpla la propiedad SISS y subrayamos las principales relaciones y diferencias entre SISS, local ISS y ISS; enfatizando la novedosa información que nos aporta el marco teórico SISS. La segunda parte de este documento aplica el marco teórico SISS desarrollado para estudiar la estabilidad del algoritmo Safe Gradient Flow cuando se implementa en situaciones reales. Demostramos que, bajo ciertas suposiciones razonables, tanto el SGF continuo como el discretizado exhiben la propiedad Set Input to State Stability (SISS).

Aquest informe estudia l'aplicació de tècniques de reducció de models pel control predictiu no lineal (NMPC) dels reformadors d'etanol (ESR). S'estén el mètode de l'espai nul, tradicionalment utilitzat per a sistemes d'equacions diferencials ordinàries (ODEs) a sistemes d'equacions diferencials en derivades parcials (PDEs), proporcionant un marc sistemàtic per reduir la complexitat computacional d'aquests sistemes. L'estudi també proporciona una extensió del mètode de característiques mitjançant l'ús de tècniques numèriques de diferències finites, ampliant l'aplicabilitat del mètode a sistemes més complexos de PDEs hiperbòliques, com el reformador d'etanol (ESR). Mitjançant el mètode de l'espai nul, s'aconsegueix una reducció del temps computacional del sistema ESR d'aproximadament un 50%, mantenint una alta precisió, mentre que el mètode de característiques demostra una disminució del temps computacional de més del 90%. Cadascun dels dos mètodes es pot aplicar a diferents tipus de sistemes; si s'apliquen en paral·lel, les seves capacitats de millora de computació es superposen sense augmentar l'eficiència addicionalment. Els marcs matemàtics desenvolupats són versàtils i es poden aplicar al disseny de NMPCs per a diferents models descrits per equacions diferencials en derivades parcials (PDEs), amb un ampli ventall d'aplicacions en l'optimització de processos industrials.

Este informe estudia la aplicación de técnicas de reducción de modelos para el control predictivo no lineal (NMPC) de reformadores de etanol (ESR). Se extiende el método del espacio nulo, tradicionalmente utilizado para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs), a sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDEs), proporcionando un marco sistemático para reducir la complejidad computacional de estos sistemas. El estudio también proporciona una extensión del método de características mediante el uso de técnicas numéricas de diferencias finitas, ampliando la aplicabilidad del método a sistemas más complejos de PDEs hiperbólicas, como el ESR. A través del método del espacio nulo, se consigue una reducción del tiempo de simulacion del sistema ESR de aproximadamente un 50%, manteniendo una alta precisión, mientras que el método de características demuestra una disminución del tiempo computacional de más del 90%. Cada uno de los dos métodos se puede aplicar a diferentes tipos de sistemas; si se aplican en paralelo, sus capacidades de mejora de computación se superponen sin aumentar la eficiencia adicionalmente. Los marcos matemáticos desarrollados son versátiles y se pueden aplicar al diseño de NMPCs para diferentes modelos descritos por sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (PDEs), con un amplio abanico de aplicaciones en la optimización de procesos industriales.

L'oncologia de precisió és cada vegada més accessible, amb múltiples models disponibles, encara que sovint no són reproduïbles. Aquesta tesi explora l'aplicació de mètodes computacionals per identificar parells de gens letals sintètics i de rescat sintètics, i el seu potencial en la predicció de respostes a fàrmacs basada en el transcriptoma tumoral. Aprofitant bases de dades com CCLE, Projecte Aquil·les, CTRPv2 i TCGA, hem desenvolupat una cadena de processos per replicar els models més recents, que no fan disponible el seu codi, i crear un paquet de R. El nostre enfocament realitza proves en pantalles de knockout CRISPR-Cas9, dades clíniques i dades filogenètiques per determinar interaccions letals sintètiques i de rescat sintètic. Posteriorment analitza la xarxa resultant i compara el seu rendiment amb altres xarxes disponibles, fent proves tant en conjunts de dades in vitro com clínics. També analitza les eleccions fetes pels models anteriors i introdueix l'ús de l'especificitat de teixit. Els resultats indiquen un rendiment pitjor que els models anteriors, tot destacant la importància de l'algoritme de predicció. Proposem contactar amb els autors originals per entendre la diferència en el rendiment.

La oncología de precisión es cada vez más accesible, con múltiples modelos disponibles, aunque a menudo no son reproducibles. Esta tesis explora la aplicación de métodos computacionales para identificar pares de genes letales sintéticos y de rescate sintéticos, y su potencial en la predicción de respuestas a fármacos basada en el transcriptoma tumoral. Aprovechando bases de datos como CCLE, Proyecto Aquiles, CTRPv2 y TCGA, hemos desarrollado una cadena de procesos para replicar los modelos más recientes, que no hacen disponible su código, y crear un paquete de R. Nuestro enfoque realiza pruebas en pantallas de knockout CRISPR-Cas9, datos clínicos y datos filogenéticos para determinar interacciones letales sintéticas y de rescate sintético. Posteriormente analiza la red resultante y compara su rendimiento con otras redes disponibles, haciendo pruebas tanto en conjuntos de datos in vitro como clínicos. También analiza las elecciones hechas por los modelos anteriores e introduce el uso de la especificidad de tejido. Los resultados indican un rendimiento peor que los modelos anteriores, destacando la importancia del algoritmo de predicción. Proponemos contactar con los autores originales para entender la diferencia en el rendimiento.

Les Ejeccions de Massa Coronals (CMEs) tenen un impacte significatiu en la meteorologia espacial en transportar massa i energia solar cap a l'Heliosfera. Aquesta investigació se centra en comprendre les seves configuracions magnètiques internes, fonamentalment les Cordes de Flux Magnètic (MFRs), que són crucials per predir el comportament de les CMEs. L'estudi es concentra en la inestabilitat de tipus kink, un fenomen que podria induir rotacions de les MFRs heliosfèriques. Emprant el mètode de la velocitat de creixement, la investigació avalua l'estabilitat de les MFRs sota pertorbacions utilitzant principis magnetohidrodinàmics i models de simetria cilíndrica. Aquest estudi s'ha aplicat a dades de sondes espacials en un intent d'augmentar la nostra capacitat de predir quan aquestes pertorbacions podrien causar canvis en l'estructura, la dinàmica i la trajectòria d'una CME.

Las Eyecciones de Masa Coronal (CMEs) tienen un impacto significativo en la meteorología espacial al transportar masa y energía solar hacia la Heliosfera. Esta investigación se centra en comprender sus configuraciones magnéticas internas, fundamentalmente las Cuerdas de Flujo Magnético (MFRs), que son cruciales para predecir el comportamiento de las CMEs. El estudio se concentra en la inestabilidad de tipo kink, un fenómeno que podría inducir rotaciones en las MFRs heliosféricas. Utilizando el método de la velocidad de crecimiento, la investigación evalúa la estabilidad de las MFRs bajo perturbaciones utilizando principios magnetohidrodinámicos y modelos de simetría cilíndrica. Este estudio se ha aplicado a datos de sondas espaciales en un intento de aumentar nuestra capacidad de predecir cuándo estas perturbaciones podrían causar cambios en la estructura, la dinámica y la trayectoria de una CME.

L'anàlisi basada en dades del futbol és un camp en auge, i els clubs dediquen cada vegada més recursos a obtenir un avantatge competitiu mitjançant tècniques basades en dades. Les substitucions són la principal eina de la qual disposa un entrenador per a intervenir en el transcurs del joc, i la seva limitació i rellevància han despertat l'interès pel seu estudi. En aquesta tesi busquem un enfocament analític per a la identificació i predicció de substitucions òptimes. Amb el recent canvi en la legislació futbolística, ara es permeten a cada equip fins a cinc substitucions per partit. Comparem el nou paradigma amb l'anterior i busquem les substitucions òptimes amb l'ús de models basats en dades. Amb classificadors d'aprenentatge automàtic i un model de probabilitat de victòria en directe sensible a les substitucions, s'han avaluat els canvis de jugadors. Els mateixos models s'han utilitzat per a simular substitucions de diferent tipus i en moments alternatius, amb la finalitat de realitzar plantejaments basats en dades que augmentin les probabilitats d'èxit. L'addició de canvis addicionals ha provocat un augment de les intervencions tàctiques dels entrenadors, però la dinàmica del partit es manté igual. Els models d'aprenentatge automàtic obtenen bons resultats en la predicció de la valoració de les substitucions. El model de probabilitat de victòria és sensible a les substitucions, que solen tenir un millor efecte per a l'equip que les realitza. Les substitucions ofensives solen augmentar les probabilitats de victòria, especialment per als equips que van perdent. No s'observa que cap moment sigui significativament millor per a fer el canvi, però en casos particulars pot ser rellevant.

El análisis basado en datos del fútbol es un campo en auge, y los clubes dedican cada vez más recursos a obtener una ventaja competitiva mediante técnicas basadas en datos. Las sustituciones son la principal herramienta de la que dispone un entrenador para intervenir en el transcurso del juego, y su limitación y relevancia han despertado el interés por su estudio. En esta tesis buscamos un enfoque analítico para la identificación y predicción de sustituciones óptimas. Con el reciente cambio en la legislación futbolística, ahora se permiten a cada equipo hasta cinco sustituciones por partido. Comparamos el nuevo paradigma con el anterior y buscamos las sustituciones óptimas con el uso de modelos basados en datos. Con clasificadores de aprendizaje automático y un modelo de probabilidad de victoria en directo sensible a las sustituciones, se han evaluado los cambios de jugadores. Los mismos modelos se han utilizado para simular sustituciones de distinto tipo y en momentos alternativos, con el fin de realizar planteamientos basados en datos que aumenten las probabilidades de éxito. La adición de cambios adicionales ha provocado un aumento de las intervenciones tácticas de los entrenadores, pero la dinámica del partido se mantiene igual. Los modelos de aprendizaje automático obtienen buenos resultados en la predicción de la valoración de las sustituciones. El modelo de probabilidad de victoria es sensible a las sustituciones, que suelen tener un mejor efecto para el equipo que las realiza. Las sustituciones ofensivas suelen aumentar las probabilidades de victoria, especialmente para los equipos que van perdiendo. No se observa que ningún momento sea significativamente mejor para hacer el cambio, pero en casos particulares puede ser relevante.

Una partició entera es diu triangular si el seu diagrama de Ferrers es pot separar del seu complement amb una línia recta. Aquest treball es basa en alguns desenvolupaments recents sobre el tema per obtenir nous resultats que ofereixen una visió integral de les particions triangulars des de la perspectiva de la combinatòria enumerativa i geomètrica. Es presenta una caracterització natural per a les particions triangulars, la qual es generalitza de forma natural a conceptes anàlegs en dimensions superiors. També es caracteritzen les cel·les esborrables i afegibles, definides per Bergeron i Mazin, i es descriuen els valors de la funció de Möbius al reticle de particions triangulars ordenades per inclusió. Es tracten diversos problemes de compteig, obtenint fórmules d'enumeració i derivant una nova demostració del teorema d'enumeració de paraules equilibrades de Lipatov. Es presenta un algoritme altament eficient per comptar particions triangulars segons la mida, fent possible l'estudi computeritzat de particions triangulars molt grans per primera vegada. La investigació s'estén després a generalitzacions en dimensions superiors anomenades particions piramidals, on es demostra que el nombre de cel·les esborrables i afegibles pot ser arbitràriament gran. En el cas $d$-dimensional per a $d$ primer, es descriu el residu del nombre de particions piramidals de la mateixa mida mòdul $d$. Finalment, s'estudien les particions convexes i còncaves, definides com particions amb un diagrama de Ferrers que pot ser separat del seu complement per una corba convexa o còncava. S'obtenen caracteritzacions per a ambdós casos, es demostra que els seus posets segons l'ordre d'inclusió són reticles i es troben els valors de les seves funcions de Möbius. S'estableixen una fita inferior i una superior pel nombre de particions convexes, i s'obté una fita inferior similar en el cas còncau.

Una partición entera es triangular si su diagrama de Ferrers puede ser separado de su complemento por una línea recta. Este trabajo se basa en algunos desarrollos recientes sobre el tema con el fin de obtener nuevos resultados que ofrecen una visión integral de las particiones triangulares desde la perspectiva de la combinatoria enumerativa y geométrica. Se presenta una caracterización natural para las particiones triangulares, que se generaliza de manera elegante a conceptos análogos en dimensiones superiores. También se caracterizan las celdas quitables y añadibles, definidas por Bergeron y Mazin, y se describen los valores de la función de Möbius en el retículo de particiones triangulares ordenadas por inclusión. Se abordan diferentes problemas de conteo, obteniendo varias fórmulas de enumeración y derivando una nueva demostración del teorema de enumeración de palabras equilibradas de Lipatov. Se presenta un algoritmo altamente eficiente para contar particiones triangulares por tamaño, lo que permite el estudio computerizado de particiones triangulares grandes por primera vez. La investigación se extiende luego a generalizaciones en dimensiones superiores llamadas particiones piramidales, para las cuales se demuestra que el número de celdas quitables y añadibles puede ser arbitrariamente grande. En el caso $d$-dimensional para $d$ primo, se describe el residuo del número de particiones piramidales de un mismo tamaño módulo $d$. Finalmente, se estudian las particiones convexas y cóncavas, definidas como particiones cuyo diagrama de Ferrers puede ser separado de su complemento por una curva convexa o cóncava. Ambos casos se caracterizan, se demuestra que sus posets bajo el orden de inclusión son retículos y se encuentran los valores de sus funciones de Möbius. Se proporciona una cota inferior y superior para el número de particiones convexas y se obtiene una cota inferior similar en el caso cóncavo.

Un dels problemes oberts més excitants en topologia quàntica es relaciona amb la categorificació de la teoria complexa de Chern-Simons. En aquest context, Gukov i Manolescu introdueixen una sèrie en dues variables $F_K(x,q)$ com la restricció dels invariants de 3-varietats $\hat{Z}$ a complements de nusos, la qual s'ha demostrat que té propietats sorprenents. En particular, aquesta sèrie es pot pensar com una continuació analítica del celebrat polinomi de Jones de teoria de nusos. Subjacent a aquesta construcció s'hi hagi l'elecció d'un grup de Lie $G=SU(2)$. Una pregunta natural concerneix l'estudi d'aquests invariants per a $SU(N)$ de major rang. Fins ara, han hagut intents de definir-los rigorosament, però una definició matemàtica de $F_K^{SU(N)}(x_1,\dots,x_{N-1},q)$ per a nusos no torals encara manca en l'escenari general. Ens centrem en el grup de Lie $SU(3)$. Per a poder estudiar el comportament de l'invariant de nusos associat $F_K^{SU(3)}$, proporcionem una construcció a partir de $R$ matrius dels invariants de nusos cuántidos de $\sl_3$ per a qualsevol nus i representació irreductible finit-dimensional. El resultat principal d'aquesta tesi dona una construcció explícita de $F_K^{SU(3)}(x,y,q)$, que estén la seva prèvia definició a la família de major grandària nus de trena positiva. En particular, es mostra que $F_K^{LA SEVA(3)}(x,y,q)$ recupera el $\mathfrak{sl}_3$ invariant quàntic mitjançant especialitzacions en les variables $x$ e $y$.

Uno de los problemas abiertos más excitantes en topología cuántica se relaciona con la categorificación de la teoría compleja de Chern-Simons. En este contexto, Gukov y Manolescu introducen una serie en dos variables $F_K(x,q)$ como la restricción de los invariantes de 3-variedades $\hat{Z}$ a complementos de nudos, la cual se ha demostrado que tiene propiedades sorprendentes. En particular, esta serie se puede pensar como una continuación analítica del celebrado polinomio de Jones de teoría de nudos. Subyacente a esta construcción se haya la elección de un grupo de Lie $G=SU(2)$. Una pregunta natural concierne el estudio de estos invariantes para $SU(N)$ de mayor rango. Hasta ahora, han habido intentos de definirlos rigurosamente, pero una definición matemática de $F_K^{SU(N)}(x_1,\dots,x_{N-1},q)$ para nudos no torales todavía carece en el escenario general. Nos centramos en el grupo de Lie $SU(3)$. Para poder estudiar el comportamiento del invariante de nudos asociado $F_K^{SU(3)}$, proporcionamos una construcción a partir de $R$ matrices de los invariantes de nudos cuántidos de $\sl_3$ para cualquier nudo y representación irreducible finito-dimensional. El resultado principal de esta tesis da una construcción explícita de $F_K^{SU(3)}(x,y,q)$, que extiende su previa definición a la familia de mayor tamaño nudos de trenza positiva. En particular, se muestra que $F_K^{SU(3)}(x,y,q)$ recupera el $\mathfrak{sl}_3$ invariante cuántico mediante especializaciones en las variables $x$ e $y$.

En els darrers anys s'han detectat quàsars amb un desplaçament al vermell z > 7 i masses superiors a 10^9 masses solars (M⊙). L'existència d'objectes tan massius en èpoques tan primerenques de l'univers desafia les teories actuals de formació i evolució de forats negres. Les simulacions cosmològiques no emulen correctament el creixement de forats negres de 10^2 − 10^6 M⊙ que creixen fins a ∼ 10^9M⊙ en menys d'1 Ga. La resolució d'aquestes simulacions i els models d'acreció assumits poden ser la raó d'aquesta incapacitat per descriure amb precisió la realitat. En aquesta tesi, fem una revisió completa de l'acreció amb simetria esfèrica i en estat estacionari en un forat negre (acreció de Bondi) des d'un punt de vista totalment relativista. Fem ús d'un codi de Relativitat Numèrica que l'implementa per entendre millor el procés d'acreció. Trobem un problema recurrent pel que fa a la seva estabilitat i discutim possibles solucions.

En los últimos años se han detectado varios quásares de masas superiores a 10^9 M⊙ con corrimiento al rojo z > 7. La existencia de objetos tan masivos en épocas tan tempranas en el universo hace tambalear las principales teorías que tratan de explicar la formación y evolución de agujeros negros. Simulaciones previas a escala cosmológica son incapaces de emular el crecimiento acelerado de agujeros negros de masas 10^2 − 10^6 M⊙ hasta agujeros negros masivos de ∼ 10^9 M⊙ en menos de 1 Ga. La resolución de estas simulaciones, junto con los modelos de acreción que se asumen como ciertos, pueden ser la fuente de dichos problemas para describir la realidad. En esta tesis, revisamos desde un punto de vista totalmente relativista la acreción de Bondi: acreción estacionaria con simetría esférica en un agujero negro. Hacemos uso de un código de Relatividad Numérica que lo implementa para lograr comprender mejor el proceso de acreción. Encontramos un problema recurrente relacionado con la estabilidad de dicho código y proponemos soluciones para ello.

S'estudien les eines desenvolupades en la dècada de 1950 per Calderón i Zygmund, les quals varen portar al naixement de l'anàlisi harmònica moderna. Alguns d'aquests conceptes són la funció maximal de Hardy-Littlewood juntament amb les seves propietats d'acotació en espais Lp, teoremes d'interpolació i, sobretot, la descomposició de Calderón i Zygmund. Aquestes tècniques ens permeten demostrar que algunes integrals singulars estan ben definides i fitades en els espais Lp. Tot i que l'espai euclidià fos el context original on totes aquestes idees es varen desenvolupar, un objectiu principal del projecte és entendre com aquestes propietats es generalitzen a altres espais mètrics de mesura i a integrals singulars de valors vectorials. Tot i ser potent, la teoria clàssica de Calderón-Zygmund té les seves limitacions. Per exemple, l'operador maximal esfèric introduït per Stein en la dècada de 1970 cau fora de l'abast de la teoria original. Tot i així, un pot utilitzar la teoria de Littlewood-Paley via desigualtats de square functions per demostrar desigualtats òptimes per l'operador maximal esfèric. Per contra, hi ha fites en els extrems del rang de valors dels exponents p per a operadors integrals singulars i maximals que romanen com a problemes oberts.

Se estudian las herramientas desarrolladas en la década de 1950 por Calderón y Zygmund, las cuales llevaron al nacimiento del análisis armónico moderno. Algunos de estos conceptos son la función maximal de Hardy-Littlewood junto con sus propiedades de acotación en espacios Lp, teoremas de interpolación y, sobre todo, la descomposición de Calderón y Zygmund. Estas técnicas nos permiten demostrar que algunas integrales singulares están bien definidas y acotadas en los espacios Lp. Aunque el espacio euclídeo sea el contexto original donde todas estas ideas fueron desarrolladas, un objetivo principal del proyecto es entender cómo estas propiedades se generalizan a otros espacios métricos de medida y a integrales singulares con valores vectoriales. A pesar de ser potente, la teoría clásica de Calderón-Zygmund tiene sus limitaciones. Por ejemplo, el operador maximal esférico introducido por Stein en la década de 1970 cae fuera del alcance de la teoría original. Sin embargo, uno puede utilizar la teoría de Littlewood-Paley via desigualdades de square functions para demostrar desigualdades óptimas para el operador maximal esférico. Aun así, hay cotas en los extremos del rango de valores de los exponentes p para operadores integrales singulares y maximales similares que permanecen como problemas abiertos.

L'òptica quàntica és la branca de la física que estudia la interacció entre la llum i la matèria. Aquesta teoria ha estat utilitzada per donar fonament teòric a molts experiments, però és comú fer servir moltes aproximacions. Entre elles, les més comunes són l'aproximació de mode únic i l'aproximació d'ona rotatòria. En particular, se sap que la segona és incompatible amb la relativitat, ja que permet propagació més ràpida que la llum. Per solucionar aquest problema, és millor treballar en un marc teòric de camp purament quàntic, que és l'entorn escollit en aquest treball. L'objectiu principal del nostre projecte és estudiar patrons d'interferència utilitzant tècniques de Teoria Quàntica de Camps. Com a primer apropament al tema, hem començat amb dos detectors de partícules d'Unruh-DeWitt interaccionant amb el buit d'un camp quàntic escalar, sense massa i real. Dins aquest marc, només canviant l'estat inicial dels detectors, hem estat capaços de dissenyar models d'interacció per emissió coherent i incoherent. Després, aquests resultats s'han comparat amb el model clàssic de l'experiment de la doble escletxa per analitzar-ne les diferències, així com per trobar correccions quàntiques al model clàssic a diferents règims.

La óptica cuántica es la rama de la física que estudia la interacción entre la luz y la materia. Esta teoría ha sido utilizada para dar fundamento teórico a muchos experimentos, pero es común usar muchas aproximaciones. Entre ellas, las más comunes son la aproximación de modo único y la aproximación de onda rotatoria. En particular, se sabe que la segunda es incompatible con la relatividad, debido a que permite propagación más rápida que la luz. Para solucionar este problema, es mejor trabajar en un marco teórico de campo puramente cuántico, que es el entorno escogido en este trabajo. El objetivo principal de nuestro proyecto es estudiar patrones de interferencia usando técnicas de Teoría Cuántica de Campos. Como primer acercamiento al tema, hemos empezado con dos detectores de partículas de Unruh-DeWitt interaccionando con el vacío de un campo cuántico escalar, sin masa y real. Dentro de este marco, solo cambiando el estado inicial de los detectores, hemos sido capaces de diseñar modelos de interacción para emisión coherente e incoherente. Después, estos resultados se han comparado con el modelo clásico del experimento de la doble rendija para analizar sus diferencias, así como para encontrar correcciones cuánticas al modelo clásico a diferentes regímenes.

En aquest treball abordem els problemes de mostreig i comptatge aproximat en models d'espins en grafs, recopilant els resultats més significatius de l'àrea i introduïnt els coneixements previs necessaris del camp de la física estadística. En particular, prestem especial atenció als mètodes generals de disseny d'algorismes desenvolupats per Weitz i Barvinok, així com els avenços recents en matèria de comptatge i mostreig de conjunts independents de mida donada. Així mateix, discutim com es podrien adaptar aquests arguments als problemes de comptatge i mostreig de coloracions amb les mides de cada color fixades, explicant amb detall la línia de recerca actual que estem duent a terme.

En este trabajo abordamos los problemas de muestreo y conteo aproximado en modelos de espines en grafos, recopilando los resultados más significativos del campo e introduciendo el conocimiento previo necesario del área de la física estadística. En particular, prestamos especial atención a los métodos generales de diseño de algorismos desarrollados por Weitz y Barvinok, así como a los avances recientes en cuanto al conteo y muestreo de conjuntos independientes de un tamaño dado. Así mismo, discutimos cómo se podrían adaptar estos argumentos al problema de contar y muestrear coloraciones con el tamaño de cada color fijo, explicando en detalle la línea de investigación que estamos llevando a cabo actualmente.

El lema de Ribet descriu una forma de construir classes de cohomologia a partir de representacions de grups. La primera versió del lema va ser enunciada per Ken Ribet com part de la seva demostració del recíproc del teorema de Herbrand. El seu plantejament, conegut com el mètode de Ribet, es basa en reformular el problema en termes de l'existència d'una certa classe de cohomologia i construir aquesta clase a partir de la representació de Galois associada a una forma modular adient, fent servir el lema de Ribet. Des de la seva aparició, s'han emprat múltiples modificacions d'aquest mètode en la demostració de conjectures tan cèlebres com ara la conjectura principal d'Iwasawa o la conjectura de Gross-Stark, generalitzant degudament el lema de Ribet. La majoria d'aquestes generalitzacions assumeixen que la representació residual factoritza en caràcters no isomorfs, el que anomenem la hipòtesi de distingibilitat residual. No obstant, en el seu recent estudi de la conjectura de Brumer-Stark, Dasgupta i Kakde s'han trobat amb representations que no satisfan aquesta hipòtesi en el cas de característica 2, cosa que ha motivat l'estudi del cas indistingible del lema. L'objectiu d'aquest treball és descriure les limitacions d'aquest cas, donar una idea d'una possible versió general del lema de Ribet, i demostrar-la en alguns casos particulars.

El lema de Ribet describe una forma de construir clases de cohomología a partir de representaciones de grupos. La primera versión de este lema fue enunciada por Ken Ribet como parte de su demostración del recíproco del teorema de Herbrand. Su enfoque, comúnmente conocido como el método de Ribet, se basó en reformular el problema en términos de la existencia de una cierta clase de cohomología y construir dicha clase a partir de la representación de Galois asociada a una forma modular apropiada, usando el lema de Ribet. Desde entonces, se han utilizado numerosas modificaciones de su método en la demostración de conjeturas tan célebres como la conjetura principal de Iwasawa o la conjetura de Gross-Stark, generalizando debidamente el lema de Ribet. La mayoría de estas generalizaciones asumen que la representación residual factoriza en carácteres no isomorfos, lo que llamamos la hipótesis de distinguibilidad residual. Sin embargo, en su reciente estudio de la conjetura de Brumer-Stark, Dasgupta y Kakde se encontraron con representationes que no cumplen esta hipótesis en el caso de característica 2, lo que motiva el estudio del caso indistinguible del lema. El objetivo de este trabajo es describir las limitaciones de este caso, dar una idea de una posible versión general del lema de Ribet, y demostrarla en algunos casos particulares.